diff --git a/dsge-intro.tex b/dsge-intro.tex index daf15d62a9070e0447ac1037bb1dc2df01802738..5c5ccc8c3245706d8c5b6d35b65e82172167596b 100644 --- a/dsge-intro.tex +++ b/dsge-intro.tex @@ -48,12 +48,13 @@ \item d'équilibre général \end{itemize} $\Rightarrow$ acronyme insuffisament spécifique +\note{Même un modèle post-keynésien peut être D-S-GE} \item Concrétisation de la «nouvelle synthèse», issue de la rencontre entre les courants néoclassique et nouveau keynésien \item Modèles \begin{itemize} \item keynésiens dans le court terme (politiques monétaire et - fiscale ont un rôle) + fiscale sont utiles) \item classiques dans le long terme (neutralité monétaire, équilibre déterminé par l'offre) \end{itemize} @@ -124,6 +125,7 @@ \begin{frame} \frametitle{Aperçu} + \note{Dire que ça vient du livre de GalÃ} \begin{itemize} \item Ménage (représentatif) \begin{itemize} @@ -228,7 +230,8 @@ où: i_t &= -\log Q_t & & \text{(taux d'intérêt nominal)} \\ \rho &= -\log \beta & & \text{(taux d'escompte)} \end{align*} -\item Correspond à la courbe IS +\note{Préciser que la linéarisation n'est pas forcément nécessaire (et en tout + cas n'a pas à être faite à la main)} \item Rejetée par les données (voir p.ex. Lettau et Ludvigson, RED, 2009) \end{itemize} \end{frame} @@ -246,9 +249,176 @@ $$\sigma\, c_t + \varphi\, n_t = w_t - p_t$$ \subsection{Les entreprises} +\begin{frame} + \frametitle{Technologie de production, demande et prix} + \begin{itemize} + \item Chaque entreprise $i$ a accès a la technologie: + $$Y_t(i) = A_t N_t(i)^{1-\alpha}$$ + où $A_t$ est la productivité totale des facteurs (exogène, commune à toutes les + entreprises) + \item Demande adressée à l'entreprise: + $$Y_t(i) = \left(\frac{P_t(i)}{P_t}\right) C_t$$ + avec $C_t$ et $P_t$ donnés (entreprise infinitésimale) + \item La décision porte donc sur le prix $P_t(i)$ + \item Prix rigides à la Calvo (1983): probabilité $\theta$ (par période) de + pouvoir modifier le prix $P_t(i)$ + \end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Dynamique de l'indice de prix agrégé} + $$\Pi_t^{1-\varepsilon} = \theta + + (1-\theta)\left(\frac{P_t^*}{P_{t-1}}\right)^{1-\varepsilon}$$ + où: + \begin{itemize} + \item $\Pi_t = \frac{P_t}{P_{t-1}}$: inflation (brute) + \item $P_t^*$: prix choisi par les entreprises qui réoptimisent + \note{C'est le même prix pour toutes les entreprises qui réoptimisent, par symétrie} + \end{itemize} +\bigskip +Version log-linéarisée (autour d'un état stationnaire avec zéro + inflation, c.-à -d. $\Pi=1$): +$$\pi_t = (1-\theta)(p_t^* - p_{t-1})$$ +où $\pi_t = \log \Pi_t$ est le taux d'inflation +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Programme} + \framesubtitle{Pour une entreprise qui peut changer son prix en $t$} + $$\max_{P_t^*} \sum_{k=0}^{\infty} \theta^k\, \mathbb{E}_t \left\{ + \Lambda_{t,t+k} (\underbrace{P_t^* Y_{t+k|t} - + \Psi_{t+k}(Y_{t+k|t})}_{\text{Profit en }t+k})\right\}$$ + \note{L'optimisation ne se fait que sur les branches de l'arbre des probabilités où le prix n'est pas réoptimisé} +avec: +\begin{itemize} +\item Demande adressée: +$$Y_{t+k|t} = \left(\frac{P_t^*}{P_{t+k}}\right) C_{t+k}$$ +\item Facteur d'escompte stochastique: +$$\Lambda_{t,t+k} = \beta^k \left(\frac{C_{t+k}}{C_t}\right)^{-\sigma} +\frac{P_t}{P_{t+k}}$$ +\item Fonction de cout: $\Psi_{t+k}(Y_{t+k|t})$ +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Condition d'optimalité} + +$$\sum_{k=0}^{\infty} \theta^k\, \mathbb{E}_t\left\{ \Lambda_{t,t+k} Y_{t+k|t} (P_t^* - + \mathcal{M}\, \psi_{t+k|t})\right\} = 0$$ +où: +\begin{itemize} +\item $\mathcal{M} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon-1}$: ratio de marge + souhaité +\item $\psi_{t+k|t}=\Psi'_{t+k}(Y_{t+k|t})$: cout marginal +\end{itemize} +\note{Le prix choisi est égal à une marge désirée au-dessus du cout marginal (nominal) + pondéré par le SDF et la probabibilité que le prix ne soit pas réoptimisé} +\bigskip +Cas particulier sans rigidités nominales ($\theta=0$): +$$P_t^* = \mathcal{M}\,\psi_{t|t}$$ +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Courbe de Phillips} + \begin{itemize} + \item Condition d'optimalité log-linéarisée: +$$p_t^* = (1-\beta\,\theta)\sum_{k=0}^{\infty}(\beta\,\theta)^k +\,\mathbb{E}_t\left\{mc_{t+k|t} + p_{t+k}\right\}$$ +où $mc_{t+k|t}$ est le (log du) cout marginal réel +\item Se réécrit: + $$\pi_t = \beta\,\mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} + \lambda\,mc_t$$ +où: +$$\lambda = +\frac{(1-\theta)(1-\beta\,\theta)(1-\alpha)}{\theta(1-\alpha+\alpha\,\varepsilon)} +> 0$$ + \end{itemize} +\end{frame} + \subsection{Bouclage du modèle} -\subsection{Réaction aux chocs} +\begin{frame} + \frametitle{Équilibre sur le marché des biens} + \begin{itemize} + \item Pour tout $i$: + $$C_t(i) = Y_t(i)$$ + \item Production agrégée: + $$Y_t = \left(\int_0^1 Y_t(i)^{\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}} + \,\mathrm{d}i\right)^{\frac{\varepsilon}{\varepsilon-1}}$$ + \item D'où: + $$C_t = Y_t$$ + \item L'équation d'Euler devient la courbe IS dynamique: + $$y_t = \mathbb{E}_t\{y_{t+1}\} - \frac{1}{\sigma}(i_t - + \mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} - \rho)$$ + \end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Équilibre sur le marché du travail} +\begin{align*} +N_t & = \int_0^1 N_t(i)\,\mathrm{d}i \\ + & = \int_0^1 + \left(\frac{Y_t(i)}{A_t}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}\,\mathrm{d}i \\ + & = \left(\frac{Y_t}{A_t}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}} \int_0^1 + \left(\frac{P_t(i)}{P_t}\right)^{-\frac{\varepsilon}{1-\alpha}}\,\mathrm{d}i + \end{align*} + \bigskip +S'approxime en: +$$y_t = a_t + (1-\alpha)n_t$$ + +\note{Approximation du premier ordre autour de l'inflation zéro: le terme de + dispersion des prix disparait} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Réécriture en écart de production} + \begin{itemize} + \item On considère le modèle sans frictions nominales ($\theta=0$): + \begin{description}[AAA] + \item[$y^n_t$] production (en log) + \item[$r^n_t$] taux d'intérêt réel (indépendant de la politique monétaire) + \end{description} + \item Écart de production: $\tilde{y}_t = y_t - y^n_t$ + \item La courbe IS devient: + $$\tilde{y}_t = \mathbb{E}_t\{\tilde{y}_{t+1}\} - \frac{1}{\sigma}(i_t - + \mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} - r_t^n)$$ + où $r_t^n = \rho + + \sigma\,\psi^n_{ya}\,\mathbb{E}_t\{\Delta a_{t+1}\}$ et $\psi^n_{ya}=\frac{1+\varphi}{\sigma(1-\alpha)+\varphi+\alpha}$ + + \item La courbe de Phillips devient: + $$\pi_t = \beta\,\mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} + \kappa\,\tilde{y}_t$$ + où $\kappa = \lambda\left(\sigma + \frac{\varphi+\alpha}{1-\alpha}\right)$ + \end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Politique monétaire} + +Le modèle est bouclé avec une règle de Taylor: + $$i_t = \rho + \phi_{\pi}\,\pi_t + \phi_y\, \tilde{y}_t + \varepsilon^i_t$$ +où $\varepsilon^i_t$ est le choc de politique monétaire +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Récapitulatif} + \begin{itemize} + \item Courbe IS dynamique + \note{Courbe IS issue de l'arbitrage intertemporel des ménages} + $$\tilde{y}_t = \mathbb{E}_t\{\tilde{y}_{t+1}\} - \frac{1}{\sigma}(i_t - + \mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} - r_t^n)$$ + \item Courbe de Phillips +\note{Courbe de Phillips issue du comportement de marge des entreprises} + $$\pi_t = \beta\,\mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} + \kappa\,\tilde{y}_t$$ + \item Règle de Taylor +$$i_t = \rho + \phi_{\pi}\,\pi_t + \phi_y\, \tilde{y}_t + \varepsilon^i_t$$ +\item Bouclage +\begin{gather*} +r_t^n = \rho + \sigma\,\psi^n_{ya}\,\mathbb{E}_t\{\Delta a_{t+1}\} \\ +a_t = \rho_a\, a_{t-1} + \varepsilon^a_t +\end{gather*} +\end{itemize} +\end{frame} + +\subsection{Dynamique du modèle} \subsection{La politique monétaire optimale}