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Sébastien Villemot
dsge-intro
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76176ed1
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76176ed1
authored
Jan 20, 2015
by
Sébastien Villemot
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Réécriture de Galí en log-déviation. Fichier MOD correspondant.
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+135
-42
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basicnk.mod
+39
-0
dsge-intro.tex
dsge-intro.tex
+96
-42
No files found.
basicnk.mod
0 → 100644
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76176ed1
var y i pi a n nu;
varexo eps_a eps_i;
parameters sigma beta theta epsilon alpha phi phi_pi phi_y rho_a kappa rho lambda zeta rho_nu;
// Structural parameters
sigma = 1; // Relative risk aversion
beta = 0.99; // Discount factor
theta = 2/3; // Price duration
epsilon = 6; // Elasticity of substitution between goods
alpha = 1/3; // Capital share
phi = 1; // Frisch elasticity of labor supply
phi_pi = 1.5; // Monetary stance on inflation
phi_y = 0.5/4; // Monetary stance on output
rho_a = 0.9; // Autocorrelation of technology shock
rho_nu = 0.5; // Autocorrelation of monetary policy shock
// Derived parameters
rho = -log(beta);
lambda = (1-theta)*(1-beta*theta)*(1-alpha)/theta/(1-alpha+alpha*epsilon);
kappa = lambda*(sigma+(phi+alpha)/(1-alpha));
zeta = lambda*(1+phi)/(1-alpha);
model;
y = y(+1) - 1/sigma*(i-pi(+1)-rho);
pi = beta*pi(+1)+kappa*y-zeta*a;
i = rho + phi_pi*pi + phi_y*y + nu;
a = rho_a*a(-1)+eps_a;
y = a + (1-alpha)*n;
nu = rho_nu*nu(-1) + eps_i;
end;
shocks;
var eps_a; stderr 1;
var eps_i; stderr 0.025;
end;
steady;
stoch_simul(order=1, irf=12) y pi i n;
dsge-intro.tex
View file @
76176ed1
...
...
@@ -195,7 +195,7 @@ $$\int_0^1 P_t(i) C_t(i) \,\mathrm{d}i + Q_t B_t \leq B_{t-1} + W_t N_t + T_t$$
\item
Prix, salaire et autres revenus sont donnés
\item
Pas de jeu de Ponzi:
$
\forall
t,
\;
\lim
_{
T
\rightarrow
\infty
}
\mathbb
{
E
}_
t
\{
B
_
T
\
}\
geq
0
$
\infty
}
\mathbb
{
E
}_
tB
_
T
\geq
0
$
\item
Fonction d'utilité:
$$
U
(
C
_
t, N
_
t
)
=
\frac
{
C
_
t
^{
1
-
\sigma
}}{
1
-
\sigma
}
-
...
...
@@ -231,8 +231,8 @@ $$C_t^{-\sigma} = \beta \, \mathbb{E}_t\left\{\underbrace{\frac{1}{Q_t}
\begin{itemize}
\item
Version log-linéarisée:
$$
c
_
t
=
\mathbb
{
E
}_
t
\{
c
_{
t
+
1
}
\}
-
\frac
{
1
}{
\sigma
}
(
i
_
t
-
\mathbb
{
E
}_
t
\
{\
pi
_{
t
+
1
}
\}
-
\rho
)
$$
$$
\widehat
{
c
}
_
t
=
\mathbb
{
E
}_
t
\
widehat
{
c
}
_{
t
+
1
}
-
\frac
{
1
}{
\sigma
}
(
i
_
t
-
\mathbb
{
E
}_
t
\pi
_{
t
+
1
}
-
\rho
)
$$
où:
\begin{align*}
i
_
t
&
= -
\log
Q
_
t
&
&
\text
{
(taux d'intérêt nominal)
}
\\
...
...
@@ -248,8 +248,8 @@ i_t &= -\log Q_t & & \text{(taux d'intérêt nominal)} \\
\frametitle
{
Arbitrage consommation/loisir
}
$$
\frac
{
N
_
t
^{
\varphi
}}{
C
_
t
^{
-
\sigma
}}
=
\frac
{
W
_
t
}{
P
_
t
}$$
\begin{itemize}
\item
Version log-linéarisée:
$$
\sigma\,
c
_
t
+
\varphi\,
n
_
t
=
w
_
t
-
p
_
t
$$
%
\item Version log-linéarisée:
%
$$\sigma\, c_t + \varphi\, n_t = w_t - p_t$$
\item
Chômage volontaire: on travaille moins après un choc de richesse positif
\note
{
Mentionner Mortenssen-Pissarides
}
\end{itemize}
...
...
@@ -326,19 +326,25 @@ Cas particulier sans rigidités nominales ($\theta=0$):
$$
P
_
t
^
*
=
\mathcal
{
M
}
\,\psi
_{
t|t
}$$
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{frame}
[allowframebreaks]
\frametitle
{
Courbe de Phillips
}
\begin{itemize}
\item
Condition d'optimalité log-linéarisée:
$$
p
_
t
^
*
=
(
1
-
\beta\,\theta
)
\sum
_{
k
=
0
}^{
\infty
}
(
\beta\,\theta
)
^
k
\,\mathbb
{
E
}_
t
\left\{
mc
_{
t
+
k|t
}
+
p
_{
t
+
k
}
\right\}
$$
où
$
mc
_{
t
+
k|t
}$
est l
e
(log du) cout marginal réel
\,\mathbb
{
E
}_
t
\left\{
\widehat
{
mc
}
_{
t
+
k|t
}
+
p
_{
t
+
k
}
\right\}
$$
où
$
\widehat
{
mc
}
_{
t
+
k|t
}$
est l
a
(log
-déviation
du) cout marginal réel
(spécifique à l'entreprise)
\item
Se réécrit:
$$
\pi
_
t
=
\beta\,\mathbb
{
E
}_
t
\{\pi
_{
t
+
1
}
\}
+
\lambda\,
mc
_
t
$$
où:
$$
\lambda
=
$$
\pi
_
t
=
\beta\,\mathbb
{
E
}_
t
\pi
_{
t
+
1
}
+
\lambda\,\widehat
{
mc
}_
t
$$
où
$
\lambda
=
\frac
{
(
1
-
\theta
)(
1
-
\beta\,\theta
)(
1
-
\alpha
)
}{
\theta
(
1
-
\alpha
+
\alpha\,\varepsilon
)
}
>
0
$$
>
0
$
et où la (log-déviation du) cout marginal moyen de l'économie est:
$$
\widehat
{
mc
}_
t
=
\left
(
\sigma
+
\frac
{
\phi
+
\alpha
}{
1
-
\alpha
}
\right
)
\widehat
{
y
}_
t
-
\frac
{
1
+
\phi
}{
1
-
\alpha
}
\widehat
{
a
}_
t
$$
\item
La courbe de Phillips peut donc se réécrire:
$$
\pi
_
t
=
\beta\,\mathbb
{
E
}_
t
\pi
_{
t
+
1
}
+
\kappa\,
\widehat
{
y
}_
t
-
\zeta\,\widehat
{
a
}_
t
$$
où
$
\kappa
=
\lambda\left
(
\sigma
+
\frac
{
\varphi
+
\alpha
}{
1
-
\alpha
}
\right
)
>
0
$
et
$
\zeta
=
\lambda\frac
{
1
+
\phi
}{
1
-
\alpha
}
>
0
$
\end{itemize}
\end{frame}
...
...
@@ -355,8 +361,8 @@ $$\lambda =
\item
D'où:
$$
C
_
t
=
Y
_
t
$$
\item
L'équation d'Euler devient la courbe IS dynamique:
$$
y
_
t
=
\mathbb
{
E
}_
t
\{
y
_{
t
+
1
}
\}
-
\frac
{
1
}{
\sigma
}
(
i
_
t
-
\mathbb
{
E
}_
t
\
{\
pi
_{
t
+
1
}
\}
-
\rho
)
$$
$$
\widehat
{
y
}
_
t
=
\mathbb
{
E
}_
t
\
widehat
{
y
}
_{
t
+
1
}
-
\frac
{
1
}{
\sigma
}
(
i
_
t
-
\mathbb
{
E
}_
t
\pi
_{
t
+
1
}
-
\rho
)
$$
\end{itemize}
\end{frame}
...
...
@@ -371,65 +377,113 @@ N_t & = \int_0^1 N_t(i)\,\mathrm{d}i \\
\end{align*}
\bigskip
S'approxime en:
$$
y
_
t
=
a
_
t
+
(
1
-
\alpha
)
n
_
t
$$
$$
\widehat
{
y
}_
t
=
\widehat
{
a
}
_
t
+
(
1
-
\alpha
)
\widehat
{
n
}
_
t
$$
\note
{
Approximation du premier ordre autour de l'inflation zéro: le terme de
dispersion des prix disparait
}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle
{
Politique monétaire
}
Le modèle est bouclé avec une règle de Taylor:
$$
i
_
t
=
\rho
+
\phi
_{
\pi
}
\,\pi
_
t
+
\phi
_
y
\,
\widehat
{
y
}_
t
+
\nu
_
t
$$
où
$
\nu
_
t
$
est le choc de politique monétaire (auto-corrélé)
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle
{
Récapitulatif
}
\begin{itemize}
\item
Courbe IS dynamique
\note
{
Courbe IS issue de l'arbitrage intertemporel des ménages
}
$$
\widehat
{
y
}_
t
=
\mathbb
{
E
}_
t
\widehat
{
y
}_{
t
+
1
}
-
\frac
{
1
}{
\sigma
}
(
i
_
t
-
\mathbb
{
E
}_
t
\pi
_{
t
+
1
}
-
\rho
)
$$
\item
Courbe de Phillips
\note
{
Courbe de Phillips issue du comportement de marge des entreprises
}
$$
\pi
_
t
=
\beta\,\mathbb
{
E
}_
t
\pi
_{
t
+
1
}
+
\kappa\,\widehat
{
y
}_
t
-
\zeta
\,\widehat
{
a
}_
t
$$
\item
Règle de Taylor
$$
i
_
t
=
\rho
+
\phi
_{
\pi
}
\,\pi
_
t
+
\phi
_
y
\,
\widehat
{
y
}_
t
+
\nu
_
t
$$
\item
Chocs
\begin{gather*}
\widehat
{
a
}_
t =
\rho
_
a
\,
\widehat
{
a
}_{
t-1
}
+
\varepsilon
^
a
_
t
\\
\nu
_
t =
\rho
_{
\nu
}
\,\nu
_{
t-1
}
+
\varepsilon
^
i
_
t
\end{gather*}
\item
Marché du travail
\note
{
Équation optionnelle
}
$$
\widehat
{
y
}_
t
=
\widehat
{
a
}_
t
+
(
1
-
\alpha
)
\widehat
{
n
}_
t
$$
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection
{
Dynamique du modèle
}
\begin{frame}
\frametitle
{
Calibration
}
\framesubtitle
{
En trimestriel
}
\begin{tabular}
{
ll
}
$
\sigma
=
1
$
&
\\
$
\beta
=
0
.
99
$
&
Taux d'intérêt réel annuel de 4
\%
\\
$
\theta
=
\frac
{
2
}{
3
}$
&
Durée des prix de 3 trimestres
\\
$
\varepsilon
=
6
$
&
Marge de 18
\%
\\
$
\alpha
=
\frac
{
1
}{
3
}$
&
Part des revenus du capital dans la VA
\\
$
\varphi
=
1
$
&
\\
$
\phi
_{
\pi
}
=
1
.
5
$
&
\\
$
\phi
_
y
=
\frac
{
0
.
5
}{
4
}$
&
\\
$
\rho
_
a
=
0
.
9
$
&
\\
$
\rho
_{
\nu
}
=
0
.
5
$
&
\end{tabular}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle
{
Glou
}
Discussion des anticipations rationnelles et du principe de Taylor
\end{frame}
\subsection
{
Réécriture en écart de production
}
\begin{frame}
\frametitle
{
Réécriture en écart de production
}
\begin{itemize}
\item
On considère le modèle sans frictions nominales (
$
\theta
=
0
$
):
\begin{description}
[AAA]
\item
[$
y
^n_t$]
production (en log)
\item
[$
\widehat{y}
^n_t$]
production (en log
-déviation
)
\item
[$r^n_t$]
taux d'intérêt réel (indépendant de la politique monétaire)
\end{description}
\item
Écart de production:
$
\tilde
{
y
}_
t
=
y
_
t
-
y
^
n
_
t
$
\item
Écart de production:
$
\tilde
{
y
}_
t
=
\widehat
{
y
}_
t
-
\widehat
{
y
}
^
n
_
t
$
\item
La courbe IS devient:
$$
\tilde
{
y
}_
t
=
\mathbb
{
E
}_
t
\
{\
tilde
{
y
}_{
t
+
1
}
\}
-
\frac
{
1
}{
\sigma
}
(
i
_
t
-
\mathbb
{
E
}_
t
\
{\
pi
_{
t
+
1
}
\}
-
r
_
t
^
n
)
$$
$$
\tilde
{
y
}_
t
=
\mathbb
{
E
}_
t
\tilde
{
y
}_{
t
+
1
}
-
\frac
{
1
}{
\sigma
}
(
i
_
t
-
\mathbb
{
E
}_
t
\pi
_{
t
+
1
}
-
r
_
t
^
n
)
$$
où
$
r
_
t
^
n
=
\rho
+
\sigma\,\psi
^
n
_{
ya
}
\,\mathbb
{
E
}_
t
\{\Delta
a
_{
t
+
1
}
\}
$
et
$
\psi
^
n
_{
ya
}
=
\frac
{
1
+
\varphi
}{
\sigma
(
1
-
\alpha
)+
\varphi
+
\alpha
}$
\sigma\,\psi
^
n
_{
ya
}
\,\mathbb
{
E
}_
t
\{\Delta
\widehat
{
a
}
_{
t
+
1
}
\}
$
et
$
\psi
^
n
_{
ya
}
=
\frac
{
1
+
\varphi
}{
\sigma
(
1
-
\alpha
)+
\varphi
+
\alpha
}$
\item
La courbe de Phillips devient:
$$
\pi
_
t
=
\beta\,\mathbb
{
E
}_
t
\{\pi
_{
t
+
1
}
\}
+
\kappa\,\tilde
{
y
}_
t
$$
où
$
\kappa
=
\lambda\left
(
\sigma
+
\frac
{
\varphi
+
\alpha
}{
1
-
\alpha
}
\right
)
$
$$
\pi
_
t
=
\beta\,\mathbb
{
E
}_
t
\pi
_{
t
+
1
}
+
\kappa\,\tilde
{
y
}_
t
$$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle
{
Politique monétaire
}
Le modèle est bouclé avec une règle de Taylor:
$$
i
_
t
=
\rho
+
\phi
_{
\pi
}
\,\pi
_
t
+
\phi
_
y
\,
\tilde
{
y
}_
t
+
\varepsilon
^
i
_
t
$$
où
$
\varepsilon
^
i
_
t
$
est le choc de politique monétaire
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle
{
Récapitulatif
}
\begin{itemize}
\item
Courbe IS dynamique
\note
{
Courbe IS issue de l'arbitrage intertemporel des ménages
}
$$
\tilde
{
y
}_
t
=
\mathbb
{
E
}_
t
\{\tilde
{
y
}_{
t
+
1
}
\}
-
\frac
{
1
}{
\sigma
}
(
i
_
t
-
\mathbb
{
E
}_
t
\{\pi
_{
t
+
1
}
\}
-
r
_
t
^
n
)
$$
$$
\tilde
{
y
}_
t
=
\mathbb
{
E
}_
t
\tilde
{
y
}_{
t
+
1
}
-
\frac
{
1
}{
\sigma
}
(
i
_
t
-
\mathbb
{
E
}_
t
\pi
_{
t
+
1
}
-
r
_
t
^
n
)
$$
\item
Courbe de Phillips
\note
{
Courbe de Phillips issue du comportement de marge des entreprises
}
$$
\pi
_
t
=
\beta\,\mathbb
{
E
}_
t
\{\pi
_{
t
+
1
}
\}
+
\kappa\,\tilde
{
y
}_
t
$$
\item
Règle de Taylor
$$
i
_
t
=
\rho
+
\phi
_{
\pi
}
\,\pi
_
t
+
\phi
_
y
\,
\tilde
{
y
}_
t
+
\varepsilon
^
i
_
t
$$
\item
Bouclage
$$
\pi
_
t
=
\beta\,\mathbb
{
E
}_
t
\pi
_{
t
+
1
}
+
\kappa\,\tilde
{
y
}_
t
$$
\item
Règle de Taylor (maintenant spécifiée en écart de production)
$$
i
_
t
=
\rho
+
\phi
_{
\pi
}
\,\pi
_
t
+
\phi
_
y
\,
\tilde
{
y
}_
t
+
\nu
_
t
$$
\item
Taux d'intérêt réel naturel
$$
r
_
t
^
n
=
\rho
+
\sigma\,\psi
^
n
_{
ya
}
\,\mathbb
{
E
}_
t
\{\Delta
\widehat
{
a
}_{
t
+
1
}
\}
$$
\item
Chocs
\begin{gather*}
r
_
t
^
n =
\rho
+
\sigma\,\psi
^
n
_{
ya
}
\,\mathbb
{
E
}_
t
\{\Delta
a
_{
t+1
}
\}
\\
a
_
t =
\rho
_
a
\,
a
_{
t-1
}
+
\varepsilon
^
a
_
t
\widehat
{
a
}_
t =
\rho
_
a
\,
\widehat
{
a
}_{
t-1
}
+
\varepsilon
^
a
_
t
\\
\nu
_
t =
\rho
_
{
\nu
}
\,\nu
_{
t-1
}
+
\varepsilon
^
i
_
t
\end{gather*}
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection
{
Dynamique du modèle
}
\subsection
{
La politique monétaire optimale
}
\section
{
Le modèle Smets-Wouters
}
\section
{
Extensions principales
}
...
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