Commit 76176ed1 authored by Sébastien Villemot's avatar Sébastien Villemot

Réécriture de Galí en log-déviation. Fichier MOD correspondant.

parent 7401f20e
var y i pi a n nu;
varexo eps_a eps_i;
parameters sigma beta theta epsilon alpha phi phi_pi phi_y rho_a kappa rho lambda zeta rho_nu;
// Structural parameters
sigma = 1; // Relative risk aversion
beta = 0.99; // Discount factor
theta = 2/3; // Price duration
epsilon = 6; // Elasticity of substitution between goods
alpha = 1/3; // Capital share
phi = 1; // Frisch elasticity of labor supply
phi_pi = 1.5; // Monetary stance on inflation
phi_y = 0.5/4; // Monetary stance on output
rho_a = 0.9; // Autocorrelation of technology shock
rho_nu = 0.5; // Autocorrelation of monetary policy shock
// Derived parameters
rho = -log(beta);
lambda = (1-theta)*(1-beta*theta)*(1-alpha)/theta/(1-alpha+alpha*epsilon);
kappa = lambda*(sigma+(phi+alpha)/(1-alpha));
zeta = lambda*(1+phi)/(1-alpha);
model;
y = y(+1) - 1/sigma*(i-pi(+1)-rho);
pi = beta*pi(+1)+kappa*y-zeta*a;
i = rho + phi_pi*pi + phi_y*y + nu;
a = rho_a*a(-1)+eps_a;
y = a + (1-alpha)*n;
nu = rho_nu*nu(-1) + eps_i;
end;
shocks;
var eps_a; stderr 1;
var eps_i; stderr 0.025;
end;
steady;
stoch_simul(order=1, irf=12) y pi i n;
......@@ -195,7 +195,7 @@ $$\int_0^1 P_t(i) C_t(i) \,\mathrm{d}i + Q_t B_t \leq B_{t-1} + W_t N_t + T_t$$
\item Prix, salaire et autres revenus sont donnés
\item Pas de jeu de Ponzi: $\forall t,\; \lim_{T\rightarrow
\infty}\mathbb{E}_t\{B_T\}\geq 0$
\infty}\mathbb{E}_tB_T\geq 0$
\item Fonction d'utilité:
$$U(C_t, N_t) = \frac{C_t^{1-\sigma}}{1-\sigma} -
......@@ -231,8 +231,8 @@ $$C_t^{-\sigma} = \beta \, \mathbb{E}_t\left\{\underbrace{\frac{1}{Q_t}
\begin{itemize}
\item Version log-linéarisée:
$$c_t = \mathbb{E}_t\{c_{t+1}\} - \frac{1}{\sigma}(i_t -
\mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} - \rho)$$
$$\widehat{c}_t = \mathbb{E}_t\widehat{c}_{t+1} - \frac{1}{\sigma}(i_t -
\mathbb{E}_t\pi_{t+1} - \rho)$$
où:
\begin{align*}
i_t &= -\log Q_t & & \text{(taux d'intérêt nominal)} \\
......@@ -248,8 +248,8 @@ i_t &= -\log Q_t & & \text{(taux d'intérêt nominal)} \\
\frametitle{Arbitrage consommation/loisir}
$$\frac{N_t^{\varphi}}{C_t^{-\sigma}} = \frac{W_t}{P_t}$$
\begin{itemize}
\item Version log-linéarisée:
$$\sigma\, c_t + \varphi\, n_t = w_t - p_t$$
% \item Version log-linéarisée:
%$$\sigma\, c_t + \varphi\, n_t = w_t - p_t$$
\item Chômage volontaire: on travaille moins après un choc de richesse positif
\note{Mentionner Mortenssen-Pissarides}
\end{itemize}
......@@ -326,19 +326,25 @@ Cas particulier sans rigidités nominales ($\theta=0$):
$$P_t^* = \mathcal{M}\,\psi_{t|t}$$
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Courbe de Phillips}
\begin{itemize}
\item Condition d'optimalité log-linéarisée:
$$p_t^* = (1-\beta\,\theta)\sum_{k=0}^{\infty}(\beta\,\theta)^k
\,\mathbb{E}_t\left\{mc_{t+k|t} + p_{t+k}\right\}$$
$mc_{t+k|t}$ est le (log du) cout marginal réel
\,\mathbb{E}_t\left\{\widehat{mc}_{t+k|t} + p_{t+k}\right\}$$
$\widehat{mc}_{t+k|t}$ est la (log-déviation du) cout marginal réel (spécifique à l'entreprise)
\item Se réécrit:
$$\pi_t = \beta\,\mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} + \lambda\,mc_t$$
où:
$$\lambda =
$$\pi_t = \beta\,\mathbb{E}_t\pi_{t+1} + \lambda\,\widehat{mc}_t$$
$\lambda =
\frac{(1-\theta)(1-\beta\,\theta)(1-\alpha)}{\theta(1-\alpha+\alpha\,\varepsilon)}
> 0$$
> 0$ et où la (log-déviation du) cout marginal moyen de l'économie est:
$$\widehat{mc}_t = \left(\sigma+\frac{\phi+\alpha}{1-\alpha}\right)\widehat{y}_t
- \frac{1+\phi}{1-\alpha}\widehat{a}_t$$
\item La courbe de Phillips peut donc se réécrire:
$$\pi_t = \beta\,\mathbb{E}_t\pi_{t+1} + \kappa\, \widehat{y}_t -
\zeta\,\widehat{a}_t $$
$\kappa = \lambda\left(\sigma + \frac{\varphi+\alpha}{1-\alpha}\right) >
0$ et $\zeta = \lambda\frac{1+\phi}{1-\alpha} > 0$
\end{itemize}
\end{frame}
......@@ -355,8 +361,8 @@ $$\lambda =
\item D'où:
$$C_t = Y_t$$
\item L'équation d'Euler devient la courbe IS dynamique:
$$y_t = \mathbb{E}_t\{y_{t+1}\} - \frac{1}{\sigma}(i_t -
\mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} - \rho)$$
$$\widehat{y}_t = \mathbb{E}_t\widehat{y}_{t+1} - \frac{1}{\sigma}(i_t -
\mathbb{E}_t\pi_{t+1} - \rho)$$
\end{itemize}
\end{frame}
......@@ -371,65 +377,113 @@ N_t & = \int_0^1 N_t(i)\,\mathrm{d}i \\
\end{align*}
\bigskip
S'approxime en:
$$y_t = a_t + (1-\alpha)n_t$$
$$\widehat{y}_t = \widehat{a}_t + (1-\alpha)\widehat{n}_t$$
\note{Approximation du premier ordre autour de l'inflation zéro: le terme de
dispersion des prix disparait}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Politique monétaire}
Le modèle est bouclé avec une règle de Taylor:
$$i_t = \rho + \phi_{\pi}\,\pi_t + \phi_y\, \widehat{y}_t + \nu_t$$
$\nu_t$ est le choc de politique monétaire (auto-corrélé)
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Récapitulatif}
\begin{itemize}
\item Courbe IS dynamique
\note{Courbe IS issue de l'arbitrage intertemporel des ménages}
$$\widehat{y}_t = \mathbb{E}_t\widehat{y}_{t+1} - \frac{1}{\sigma}(i_t -
\mathbb{E}_t\pi_{t+1} - \rho)$$
\item Courbe de Phillips
\note{Courbe de Phillips issue du comportement de marge des entreprises}
$$\pi_t = \beta\,\mathbb{E}_t\pi_{t+1} + \kappa\,\widehat{y}_t -
\zeta \,\widehat{a}_t$$
\item Règle de Taylor
$$i_t = \rho + \phi_{\pi}\,\pi_t + \phi_y\, \widehat{y}_t + \nu_t$$
\item Chocs
\begin{gather*}
\widehat{a}_t = \rho_a\, \widehat{a}_{t-1} + \varepsilon^a_t \\
\nu_t = \rho_{\nu}\,\nu_{t-1} + \varepsilon^i_t
\end{gather*}
\item Marché du travail
\note{Équation optionnelle}
$$\widehat{y}_t = \widehat{a}_t + (1-\alpha)\widehat{n}_t$$
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Dynamique du modèle}
\begin{frame}
\frametitle{Calibration}
\framesubtitle{En trimestriel}
\begin{tabular}{ll}
$\sigma = 1$ & \\
$\beta = 0.99$ & Taux d'intérêt réel annuel de 4\% \\
$\theta = \frac{2}{3}$ & Durée des prix de 3 trimestres \\
$\varepsilon = 6 $ & Marge de 18\% \\
$\alpha = \frac{1}{3}$ & Part des revenus du capital dans la VA \\
$\varphi = 1$ & \\
$\phi_{\pi} = 1.5$ & \\
$\phi_y = \frac{0.5}{4}$ & \\
$\rho_a = 0.9$ & \\
$\rho_{\nu} = 0.5$ &
\end{tabular}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Glou}
Discussion des anticipations rationnelles et du principe de Taylor
\end{frame}
\subsection{Réécriture en écart de production}
\begin{frame}
\frametitle{Réécriture en écart de production}
\begin{itemize}
\item On considère le modèle sans frictions nominales ($\theta=0$):
\begin{description}[AAA]
\item[$y^n_t$] production (en log)
\item[$\widehat{y}^n_t$] production (en log-déviation)
\item[$r^n_t$] taux d'intérêt réel (indépendant de la politique monétaire)
\end{description}
\item Écart de production: $\tilde{y}_t = y_t - y^n_t$
\item Écart de production: $\tilde{y}_t = \widehat{y}_t - \widehat{y}^n_t$
\item La courbe IS devient:
$$\tilde{y}_t = \mathbb{E}_t\{\tilde{y}_{t+1}\} - \frac{1}{\sigma}(i_t -
\mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} - r_t^n)$$
$$\tilde{y}_t = \mathbb{E}_t\tilde{y}_{t+1} - \frac{1}{\sigma}(i_t -
\mathbb{E}_t\pi_{t+1} - r_t^n)$$
$r_t^n = \rho +
\sigma\,\psi^n_{ya}\,\mathbb{E}_t\{\Delta a_{t+1}\}$ et $\psi^n_{ya}=\frac{1+\varphi}{\sigma(1-\alpha)+\varphi+\alpha}$
\sigma\,\psi^n_{ya}\,\mathbb{E}_t\{\Delta \widehat{a}_{t+1}\}$ et $\psi^n_{ya}=\frac{1+\varphi}{\sigma(1-\alpha)+\varphi+\alpha}$
\item La courbe de Phillips devient:
$$\pi_t = \beta\,\mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} + \kappa\,\tilde{y}_t$$
$\kappa = \lambda\left(\sigma + \frac{\varphi+\alpha}{1-\alpha}\right)$
$$\pi_t = \beta\,\mathbb{E}_t\pi_{t+1} + \kappa\,\tilde{y}_t$$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Politique monétaire}
Le modèle est bouclé avec une règle de Taylor:
$$i_t = \rho + \phi_{\pi}\,\pi_t + \phi_y\, \tilde{y}_t + \varepsilon^i_t$$
$\varepsilon^i_t$ est le choc de politique monétaire
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Récapitulatif}
\begin{itemize}
\item Courbe IS dynamique
\note{Courbe IS issue de l'arbitrage intertemporel des ménages}
$$\tilde{y}_t = \mathbb{E}_t\{\tilde{y}_{t+1}\} - \frac{1}{\sigma}(i_t -
\mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} - r_t^n)$$
$$\tilde{y}_t = \mathbb{E}_t\tilde{y}_{t+1} - \frac{1}{\sigma}(i_t -
\mathbb{E}_t\pi_{t+1} - r_t^n)$$
\item Courbe de Phillips
\note{Courbe de Phillips issue du comportement de marge des entreprises}
$$\pi_t = \beta\,\mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} + \kappa\,\tilde{y}_t$$
\item Règle de Taylor
$$i_t = \rho + \phi_{\pi}\,\pi_t + \phi_y\, \tilde{y}_t + \varepsilon^i_t$$
\item Bouclage
$$\pi_t = \beta\,\mathbb{E}_t\pi_{t+1} + \kappa\,\tilde{y}_t$$
\item Règle de Taylor (maintenant spécifiée en écart de production)
$$i_t = \rho + \phi_{\pi}\,\pi_t + \phi_y\, \tilde{y}_t + \nu_t$$
\item Taux d'intérêt réel naturel
$$r_t^n = \rho + \sigma\,\psi^n_{ya}\,\mathbb{E}_t\{\Delta \widehat{a}_{t+1}\}$$
\item Chocs
\begin{gather*}
r_t^n = \rho + \sigma\,\psi^n_{ya}\,\mathbb{E}_t\{\Delta a_{t+1}\} \\
a_t = \rho_a\, a_{t-1} + \varepsilon^a_t
\widehat{a}_t = \rho_a\, \widehat{a}_{t-1} + \varepsilon^a_t \\
\nu_t = \rho_{\nu}\,\nu_{t-1} + \varepsilon^i_t
\end{gather*}
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Dynamique du modèle}
\subsection{La politique monétaire optimale}
\section{Le modèle Smets-Wouters}
\section{Extensions principales}
......
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