Fin des ménages.

dsge-intro.tex

@@ -131,6 +131,7 @@
     \item offre du travail
     \item a accès à un actif financier sans risque
     \end{itemize}
+    \note{Discuter aggrégation, hétérogénéité (résultat Krussel-Smith)}
   \item Entreprises (continuum)
     \begin{itemize}
     \item produisent les biens différenciés
@@ -153,8 +154,8 @@
   $$\max_{C_t(i),N_t,B_t} \mathbb{E}_0\sum_{t=0}^{\infty} \beta^t U(C_t,N_t)$$
 sous les contraintes:
 $$C_t = \left(\int_0^1 C_t(i)^{\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}}
-  \mathrm{d}i\right)^{\frac{\varepsilon}{\varepsilon-1}}$$
-$$\int_0^1 P_t(i) C_t(i) \mathrm{d}i + Q_t B_t \leq B_{t-1} + W_t N_t + T_t$$
+  \,\mathrm{d}i\right)^{\frac{\varepsilon}{\varepsilon-1}}$$
+$$\int_0^1 P_t(i) C_t(i) \,\mathrm{d}i + Q_t B_t \leq B_{t-1} + W_t N_t + T_t$$
 
 \begin{columns}[T]
 \column{.7\textwidth}
@@ -190,13 +191,59 @@ $$\int_0^1 P_t(i) C_t(i) \mathrm{d}i + Q_t B_t \leq B_{t-1} + W_t N_t + T_t$$
 $$U(C_t, N_t) = \frac{C_t^{1-\sigma}}{1-\sigma} -
 \frac{N_t^{1+\varphi}}{1+\varphi}$$
 \begin{description}[AAA]
-\item[\sigma] Aversion au risque (inverse de l'élasticité de substitution
+\item[$\sigma$] Aversion au risque (inverse de l'élasticité de substitution
   intertemporelle)
-\item[\varphi] Élasticité de Frisch de l'offre de travail
+\item[$\varphi$] Élasticité de Frisch de l'offre de travail
 \end{description}
 \end{itemize}
 \end{frame}
 
+\begin{frame}
+  \frametitle{Arbitrage entre différents biens}
+  \begin{itemize}
+  \item Condition d'optimalité:
+$$C_t(i) = \left(\frac{P_t(i)}{P_t}\right) C_t$$
+où l'indice des prix est:
+$$P_t = \left( \int_0^1 P_t(i)^{1-\varepsilon} \,\mathrm{d}i\right)^{\frac{1}{1-\varepsilon}}$$
+\item Sous ces conditions, on a:
+$$\int_0^1 P_t(i) C_t(i) \,\mathrm{d}i = P_t C_t$$
+\item La condition budgétaire se réécrit donc:
+$$P_t C_t + Q_t B_t \leq B_{t-1} + W_t N_t + T_t$$
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+  \frametitle{Arbitrage intertemporel}
+  \framesubtitle{Équation d'Euler}
+$$C_t^{-\sigma} = \beta \,  \mathbb{E}_t\left\{\underbrace{\frac{1}{Q_t}
+    \frac{P_t}{P_{t+1}}}_{\text{Taux d’intérêt réel}}
+  C_{t+1}^{-\sigma}\right\}$$
+
+\begin{itemize}
+\item Version log-linéarisée:
+$$c_t = \mathbb{E}_t\{c_{t+1}\} - \frac{1}{\sigma}(i_t -
+\mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} - \rho)$$
+où:
+\begin{align*}
+i_t &= -\log Q_t & & \text{(taux d'intérêt nominal)} \\
+\rho &= -\log \beta & & \text{(taux d'escompte)}
+\end{align*}
+\item Correspond à la courbe IS
+\item Rejetée par les données (voir p.ex. Lettau et Ludvigson, RED, 2009)
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+  \frametitle{Arbitrage consommation/loisir}
+  $$\frac{N_t^{\varphi}}{C_t^{-\sigma}} = \frac{W_t}{P_t}$$
+  \begin{itemize}
+  \item Version log-linéarisée:
+$$\sigma\, c_t + \varphi\, n_t = w_t - p_t$$
+\item Chômage volontaire: on travaille moins après un choc de richesse positif
+\note{Mentionner Mortenssen-Pissarides}
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
 \subsection{Les entreprises}
 
 \subsection{Bouclage du modèle}