Fin description modèle Galí.

dsge-intro.tex

@@ -48,12 +48,13 @@
   \item d'équilibre général
   \end{itemize}
   $\Rightarrow$ acronyme insuffisament spécifique
+\note{Même un modèle post-keynésien peut être D-S-GE}
 \item Concrétisation de la «nouvelle synthèse», issue de la rencontre entre
   les courants néoclassique et nouveau keynésien
 \item Modèles 
 \begin{itemize}
   \item keynésiens dans le court terme (politiques monétaire et
-  fiscale ont un rôle)
+  fiscale sont utiles)
 \item classiques dans le long terme (neutralité
   monétaire, équilibre déterminé par l'offre)
 \end{itemize}
@@ -124,6 +125,7 @@
 
 \begin{frame}
   \frametitle{Aperçu}
+  \note{Dire que ça vient du livre de Galí}
   \begin{itemize}
   \item Ménage (représentatif)
     \begin{itemize}
@@ -228,7 +230,8 @@ où:
 i_t &= -\log Q_t & & \text{(taux d'intérêt nominal)} \\
 \rho &= -\log \beta & & \text{(taux d'escompte)}
 \end{align*}
-\item Correspond à la courbe IS
+\note{Préciser que la linéarisation n'est pas forcément nécessaire (et en tout
+  cas n'a pas à être faite à la main)}
 \item Rejetée par les données (voir p.ex. Lettau et Ludvigson, RED, 2009)
 \end{itemize}
 \end{frame}
@@ -246,9 +249,176 @@ $$\sigma\, c_t + \varphi\, n_t = w_t - p_t$$
 
 \subsection{Les entreprises}
 
+\begin{frame}
+  \frametitle{Technologie de production, demande et prix}
+  \begin{itemize}
+  \item Chaque entreprise $i$ a accès a la technologie:
+    $$Y_t(i) = A_t N_t(i)^{1-\alpha}$$
+    où $A_t$ est la productivité totale des facteurs (exogène, commune à toutes les
+    entreprises)
+  \item Demande adressée à l'entreprise:
+    $$Y_t(i) = \left(\frac{P_t(i)}{P_t}\right) C_t$$
+    avec $C_t$ et $P_t$ donnés (entreprise infinitésimale)
+  \item La décision porte donc sur le prix $P_t(i)$
+  \item Prix rigides à la Calvo (1983): probabilité $\theta$ (par période) de
+    pouvoir modifier le prix $P_t(i)$
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+  \frametitle{Dynamique de l'indice de prix agrégé}
+  $$\Pi_t^{1-\varepsilon} = \theta +
+  (1-\theta)\left(\frac{P_t^*}{P_{t-1}}\right)^{1-\varepsilon}$$
+  où:
+  \begin{itemize}
+  \item $\Pi_t = \frac{P_t}{P_{t-1}}$: inflation (brute)
+  \item $P_t^*$: prix choisi par les entreprises qui réoptimisent
+    \note{C'est le même prix pour toutes les entreprises qui réoptimisent, par symétrie}
+  \end{itemize}
+\bigskip
+Version log-linéarisée (autour d'un état stationnaire avec zéro
+    inflation, c.-à-d. $\Pi=1$):
+$$\pi_t = (1-\theta)(p_t^* - p_{t-1})$$
+où $\pi_t = \log \Pi_t$ est le taux d'inflation
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+  \frametitle{Programme}
+  \framesubtitle{Pour une entreprise qui peut changer son prix en $t$}
+  $$\max_{P_t^*} \sum_{k=0}^{\infty} \theta^k\, \mathbb{E}_t \left\{
+    \Lambda_{t,t+k} (\underbrace{P_t^* Y_{t+k|t} -
+      \Psi_{t+k}(Y_{t+k|t})}_{\text{Profit en }t+k})\right\}$$
+  \note{L'optimisation ne se fait que sur les branches de l'arbre des probabilités où le prix n'est pas réoptimisé}
+avec:
+\begin{itemize}
+\item Demande adressée:
+$$Y_{t+k|t} = \left(\frac{P_t^*}{P_{t+k}}\right) C_{t+k}$$
+\item Facteur d'escompte stochastique:
+$$\Lambda_{t,t+k} = \beta^k \left(\frac{C_{t+k}}{C_t}\right)^{-\sigma}
+\frac{P_t}{P_{t+k}}$$
+\item Fonction de cout: $\Psi_{t+k}(Y_{t+k|t})$
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+  \frametitle{Condition d'optimalité}
+
+$$\sum_{k=0}^{\infty} \theta^k\, \mathbb{E}_t\left\{ \Lambda_{t,t+k} Y_{t+k|t} (P_t^* -
+  \mathcal{M}\, \psi_{t+k|t})\right\} = 0$$
+où:
+\begin{itemize}
+\item $\mathcal{M} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon-1}$: ratio de marge
+  souhaité
+\item $\psi_{t+k|t}=\Psi'_{t+k}(Y_{t+k|t})$: cout marginal
+\end{itemize}
+\note{Le prix choisi est égal à une marge désirée au-dessus du cout marginal (nominal)
+  pondéré par le SDF et la probabibilité que le prix ne soit pas réoptimisé}
+\bigskip
+Cas particulier sans rigidités nominales ($\theta=0$):
+$$P_t^* = \mathcal{M}\,\psi_{t|t}$$
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+  \frametitle{Courbe de Phillips}
+  \begin{itemize}
+  \item Condition d'optimalité log-linéarisée:
+$$p_t^* = (1-\beta\,\theta)\sum_{k=0}^{\infty}(\beta\,\theta)^k
+\,\mathbb{E}_t\left\{mc_{t+k|t} + p_{t+k}\right\}$$
+où $mc_{t+k|t}$ est le (log du) cout marginal réel
+\item Se réécrit:
+  $$\pi_t = \beta\,\mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} + \lambda\,mc_t$$
+où:
+$$\lambda =
+\frac{(1-\theta)(1-\beta\,\theta)(1-\alpha)}{\theta(1-\alpha+\alpha\,\varepsilon)}
+> 0$$
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
 \subsection{Bouclage du modèle}
 
-\subsection{Réaction aux chocs}
+\begin{frame}
+  \frametitle{Équilibre sur le marché des biens}
+  \begin{itemize}
+  \item Pour tout $i$:
+    $$C_t(i) = Y_t(i)$$
+  \item Production agrégée:
+    $$Y_t = \left(\int_0^1 Y_t(i)^{\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}}
+      \,\mathrm{d}i\right)^{\frac{\varepsilon}{\varepsilon-1}}$$
+  \item D'où:
+    $$C_t = Y_t$$
+  \item L'équation d'Euler devient la courbe IS dynamique:
+    $$y_t = \mathbb{E}_t\{y_{t+1}\} - \frac{1}{\sigma}(i_t -
+    \mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} - \rho)$$
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+  \frametitle{Équilibre sur le marché du travail}
+\begin{align*}
+N_t & = \int_0^1 N_t(i)\,\mathrm{d}i \\
+    & = \int_0^1
+    \left(\frac{Y_t(i)}{A_t}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}\,\mathrm{d}i \\
+    & = \left(\frac{Y_t}{A_t}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}} \int_0^1
+    \left(\frac{P_t(i)}{P_t}\right)^{-\frac{\varepsilon}{1-\alpha}}\,\mathrm{d}i
+  \end{align*}
+  \bigskip
+S'approxime en:
+$$y_t = a_t + (1-\alpha)n_t$$
+
+\note{Approximation du premier ordre autour de l'inflation zéro: le terme de
+  dispersion des prix disparait}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+  \frametitle{Réécriture en écart de production}
+  \begin{itemize}
+  \item On considère le modèle sans frictions nominales ($\theta=0$):
+    \begin{description}[AAA]
+    \item[$y^n_t$] production (en log)
+    \item[$r^n_t$] taux d'intérêt réel (indépendant de la politique monétaire)
+    \end{description}
+  \item Écart de production: $\tilde{y}_t = y_t - y^n_t$
+  \item La courbe IS devient:
+    $$\tilde{y}_t = \mathbb{E}_t\{\tilde{y}_{t+1}\} - \frac{1}{\sigma}(i_t -
+    \mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} - r_t^n)$$
+    où $r_t^n = \rho +
+    \sigma\,\psi^n_{ya}\,\mathbb{E}_t\{\Delta a_{t+1}\}$ et $\psi^n_{ya}=\frac{1+\varphi}{\sigma(1-\alpha)+\varphi+\alpha}$
+
+  \item La courbe de Phillips devient:
+    $$\pi_t = \beta\,\mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} + \kappa\,\tilde{y}_t$$
+    où $\kappa = \lambda\left(\sigma + \frac{\varphi+\alpha}{1-\alpha}\right)$
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+  \frametitle{Politique monétaire}
+
+Le modèle est bouclé avec une règle de Taylor:
+  $$i_t = \rho + \phi_{\pi}\,\pi_t + \phi_y\, \tilde{y}_t + \varepsilon^i_t$$
+où $\varepsilon^i_t$ est le choc de politique monétaire
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+  \frametitle{Récapitulatif}
+  \begin{itemize}
+  \item Courbe IS dynamique
+ \note{Courbe IS issue de l'arbitrage intertemporel des ménages}
+    $$\tilde{y}_t = \mathbb{E}_t\{\tilde{y}_{t+1}\} - \frac{1}{\sigma}(i_t -
+    \mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} - r_t^n)$$
+  \item Courbe de Phillips
+\note{Courbe de Phillips issue du comportement de marge des entreprises}
+    $$\pi_t = \beta\,\mathbb{E}_t\{\pi_{t+1}\} + \kappa\,\tilde{y}_t$$
+  \item Règle de Taylor
+$$i_t = \rho + \phi_{\pi}\,\pi_t + \phi_y\, \tilde{y}_t + \varepsilon^i_t$$
+\item Bouclage
+\begin{gather*}
+r_t^n = \rho + \sigma\,\psi^n_{ya}\,\mathbb{E}_t\{\Delta a_{t+1}\} \\
+a_t = \rho_a\, a_{t-1} + \varepsilon^a_t
+\end{gather*}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\subsection{Dynamique du modèle}
 
 \subsection{La politique monétaire optimale}